Velocidad instantánea método analítico

Se define la velocidad instantánea o simplemente velocidad como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo considerado tiende a 0. También se define como la derivada del vector de posición respecto al tiempo. Su expresión viene dada por:

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¿Cómo se deduce la expresión de la velocidad instantánea?

El procedimiento para definir la velocidad instantánea o, simplemente, velocidad en un punto A consiste en calcular la velocidad media entre A y un punto lo más próximo posible a A. Esto se traduce en calcular la velocidad media en un intervalo de tiempo lo más pequeño posible. En la gráfica puedes ver el vector de posición del punto A y del resto de puntos B, C y D. Estos son r → A , r → B , r → C y r → D respectivamente. Además está representado el vector desplazamiento entre A y cada uno de los puntos B, C y D. Estos son Δr → AB , Δr → AC y Δr → AD respectivamente. Como puedes ver en la gráfica anterior, a medida que el segundo punto es más próximo a A, el vector desplazamiento, se va haciendo tangente a la trayectoria y su módulo se aproxima al valor del espacio recorrido sobre la trayectoria.

Lo más común es que encuentres el vector velocidad escrito mediante sus componentes cartesianas quedando:

• vector velocidad en 3 dimensiones coordenadas cartesianas:

v → =v x i → +v y j → +v z j → =(lim Δt→0 ΔxΔt )i → +(lim Δt→0 ΔyΔt )j → +(lim Δt→0 ΔzΔt )j → =dxdt i → +dydt j → +dzdt j →

• vector velocidad en 2 dimensiones coordenadas cartesianas:

v → =v x i → +v y j → =(lim Δt→0 ΔxΔt )i → +(lim Δt→0 ΔyΔt )j → =dxdt i → +dydt j →

También es posible que, al igual que cualquier otro vector, lo encuentres escrito en función de su módulo. Para ello basta multiplicar el módulo del vector velocidad por un vector unitario con la misma dirección y sentido que v → y que llamaremos u → t por ser tangente a la trayectoria.

v → =v⋅u → t

Como puedes observar, la velocidad instantánea es una magnitud vectorial que cumple:

• Su módulo se puede expresar:

• En función del módulo del vector desplazamiento o en función del espacio recorrido:

∣ ∣ v → ∣ ∣ =lim Δt→0 ∣ ∣ v → m ∣ ∣ =lim Δt→0 ∣ ∣ Δr → ∣ ∣ Δ t =lim Δt→0 ΔsΔ t

• Su dirección es tangente a la trayectoria (la toca en un sólo punto).

• Su sentido es el mismo que el del movimiento

Conclusión

En este apartado hemos definido el concepto de velocidad instantánea a partir de la velocidad media, hemos estudiado su módulo, su dirección y su sentido. Aunque hemos tratado distintos puntos de vista y distintas expresiones para el vector velocidad y su módulo, normalmente calcularás la velocidad como la derivada del vector posición respecto al tiempo.

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